LINEALIZACION DE TENDENCIAS POLINOMICAS SIMPLES


En este trabajo, se van a dar las pautas para decidir si la curva de datos experimentales sigue una tendencia polinómica, es decir donde la relación entre dos variables experimentales medidas se ajusta a una función del tipo , donde A, y n son constantes reales. Para ello, se hará uso del papel logarítmico y de las técnicas de linealización con base en las propiedades de los logaritmos. En caso de que la tendencia de los datos sea de tipo polinómica, el paso a seguir es determinar los valores de A y n.

Fundamentos teóricos

Fig.7. Datos experimentales que aparentan tener tendencia polinómica.

Una función polinomial a primera vista no puede reconocerse fácilmente, pues cabe la posibilidad de que la curva representada en la fig7. sea de tipo exponencial. Para decidir este tipo de comportamiento polinomial de manera rápida suele usarse el papel logarítmico (fig.8).

Fig.8. En el papel logarítmico mostrado pueden graficarse datos que crecen aceleradamente hasta 100.000 (105) veces su valor inicial.

Este tipo de papel posee la característica de tener ambas escalas dadas en potencias de diez. En la fig.8 puede observarse cómo graficar valores que se extienden horizontal y verticalmente hasta 100000 veces su valor inicial.

Cuando se grafican datos en un papel logarítmico, y su tendencia en este tipo de papel es lineal, puede asegurarse que las variables graficadas obedecen a una relación polinomial, como se observa en la fig.9. El hecho de que al graficarse una función polinomial en papel logarítmico se obtenga una línea recta, se debe a un simple cambio de escala en el eje vertical que produce la impresión visual de una tendencia rectilínea.

Fig.8. Comparación entre datos graficados en

a)papel milimetrado y b) papel logarítmico

De igual manera puede efectuarse una comparación entre los datos graficados en papel semilogarítmico y logarítmico (fig 9). El hecho de que no se observe una tendencia rectilínea en el papel semilogarítmico y en vez de ello, sea lineal en el logarítmico, asegura que la tendencia de los datos obedece a una tendencia exponencial y viceversa.

Fig.9. Comparación entre datos graficados en

a)papel semilogarítmico y b) papel logarítmico

Una vez que se obtiene esta tendencia lineal en papel logarítmico, el paso a seguir es hallar la ecuación que rige la tendencia de los datos. Para ello debe linealizarse la función expresada en la fig.8a.

Linealización de gráficas de funciones exponenciales.

Las funciones polinómicas simples obedecen a la ecuación : :

(30)

La linealización es una técnica matemática para hallar la ecuación que rige dos variables dependientes, mediante la transformación de la gráfica de la función en una línea recta, con el objeto de interpretar el significado físico de la pendiente y el intercepto obtenidos. Esto significa que en la ec.30 deben hallarse los valores de A y n, e interpretarlos físicamente. Para hallar A y n, se procede a aplicar logaritmos a la ec.30, así :

(31)

Si hacemos una sustitución en la que cambiemos lny por una nueva variable , y lnx por la ec.31 se transforma en :

(32)

La cual, por comparación con la ecuación general de la recta :

(33)

arroja como resultado las siguientes identidades :

(34a)

(34b)

Interpretación de resultados.

El tratamiento teórico anterior es el soporte matemático para encontrar los valores de A y n que estamos buscando, para lograr construir la ecuación polinomial que rige la tendencia de los datos. Esto se logra mediante el siguiente procedimiento :

  1. Se construye una tabla de Y vs X, y se grafica en papel milimetrado, si se intuye una tendencia polinomial se procede a graficar los datos en papel logarítmico, y si se obtiene una tendencia rectilínea, se inicia el tratamiento de linealización.
  2. Se construye ahora una tabla de lny vs lnX, y se grafica en papel milimetrado, lo cual debe dar como resultado una recta. Con los datos de la tabla lny vs lnX se calcula la pendiente de esta recta, su intercepto, su coeficiente de correlación y su desviación standard de la media.
  3. Se encuentra la ecuación de la función polinomial. La pendiente calculada corresponde directamente al valor de n buscado (el grado del polinomio). El intercepto b corresponde al valor ln A. Es decir :

intercepto =

(35)

Luego, para hallar A se tiene la ecuación equivalente :

(36)

De esta manera, la ecuación de la función polinomial es :

(37)

4. Se calcula el coeficiente de correlación, para analizar la correspondencia entre los datos experimentales con la ecuación exponencial encontrada, y luego se calcula la desviación standard de la media, para tener una medida de su dispersión.

5. Finalmente se busca la interpretación física de la ecuación, esto es, la correspondencia entre la pendiente y el intercepto calculados, con variables físicas medidas.

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